دانلو پاورپوینت آماده درسی و دانشگاهی

نام فایل : قضایای مربوط به سری فوریه

فرمت : .ppt

تعداد صفحه/اسلاید : 28

حجم : 275 کیلوبایت

بنام خدا
قضایای مربوط به سری فوریه
طرز محاسبه ای که برای ضرایب سری فوریه به کار بردیم مستلزم این است که سری مثلثاتی موجود در سری فوریه به ازای تمام x ها در(-1,1) به f(x) همگرا باشد.
اما تابع f(x) می تواند مساوی سری سمت راست تعریف شده در سری فوریه نباشد،چون ممکن است این سری واگرا باشدو یا در صورت همگرایی به تابعی غیر از f(x) همگرا باشد.در اینجا شرایطی را ذکر می کنیم که برای همگرایی کافی است و با استفاده از آن قضیه ای را که اولین بار توسط دیریکله در 1829 بیان شده است اثبات می کنیم.


اثبات این قضیه برای فاصله در نظر گرفته می شود
که می توان برای فاصله ی (-1,1) هم تعمیم داد.
برای مطالعه ی بیشتر بخش 41 از مرجع [4] معرفی می شود.
فرض می کنیم که تابع f(x) در بازه ی تکه ای -پیوسته
و در هر نقطه از آن دارای مشتق چپ وراست باشد.همچنین لم زیر را بدون اثبات می پذیریم:
لم.اگر (t) Φ و
در بازه ی a<t


(a,b)، دارای مشتق چپ و راست باشد در این صورت




قضیه 1 (قضیه دیریکله)گیریم تابع متناوبf(x) با دوره ی تناوب Π2درفاصله ی( Π2و(0 تکه ای –هموار باشد.
آن گاه در هر نقطه از سری پیوستگی سر فوریه برای تابع f(x) همگرا به f(x) می باشد.همچنین در هر نقطه از ناپیوستگی تابع f(x) همگرا به میانگین حسابی از مقادیر



و است.
برهان.مجموع 2N+1 جمله اول از سری فوریه را می نامیم.بنا براین



که در آن ضرایب سری فوریه با استفاده از روابط زیر بدست می آیند



....